Gọi P là nhóm con p của Sylow của G.… Nếu G là đơn giản thì nó có 10 nhóm con bậc 3 và 6 nhóm con bậc 5. Tuy nhiên, vì các nhóm nàyđều là tuần hoàn. của bậc nguyên tố, bất kỳ phần tử không tầm thường nào của G đều được chứa trong nhiều nhất một trong các nhóm này.
Nhóm P có tuần hoàn không?
Nhóm tầm thường là nhóm duy nhất của thứ tự một và nhóm tuần hoàn C plà nhóm duy nhất của thứ tự p.
Các nhóm con có tuần hoàn không?
Định lý: Tất cả các nhóm con củamột nhóm tuần hoàn đều là tuần hoàn. Nếu G=⟨a⟩ là tuần hoàn, thì với mọi ước số d của | G | tồn tại đúng một nhóm con thứ tự d có thể được tạo bởi một | G | / d a | G | / d. Chứng minh: Cho | G |=dn | G |=d n.
Các phân nhóm P Sylow có bình thường không?
Nếu G có chính xác một nhóm con p của Sylow, thìnó phải bình thường từ Nhóm con duy nhất của một Thứ tự cho trước là Bình thường. Giả sử một nhóm con p của Sylow P là bình thường. Sau đó, nó bằng các liên từ của nó. Do đó, theo Định lý Sylow thứ ba, chỉ có thể có một nhóm con Sylow p như vậy.
Nhóm con P sylow có phải là Abelian không?
Chúng tôi chứng minh rằng nhóm con p Sylow của một nhóm hữu hạn G làabeliannếu và chỉ khi kích thước lớp của các phần tử p của G đều là nguyên tố cùng phương với p, và, nếu p ∈ {3, 5}, bậc của mọi ký tự bất khả quy trong khối p chính của G là nguyên tố của p.
