Lưu ý: đúng làmọi dãy bị ràng buộc đều chứa dãy con hội tụ, và hơn nữa, mọi dãy đơn điệu đều hội tụ nếu và chỉ khi nó bị ràng buộc. Đã thêm Xem mục nhập Định lý hội tụ đơn điệu để biết thêm thông tin về sự hội tụ được đảm bảo của các chuỗi đơn điệu có giới hạn.
Có phải mọi dãy bị giới hạn đều hội tụ trong R không?
Định lý nói rằng mỗi dãy giới hạn trongR có một dãy con hội tụ. Một công thức tương đương là một tập con của R là nhỏ gọn tuần tự nếu và chỉ khi nó được đóng và có giới hạn. Định lý này đôi khi được gọi là định lý thu gọn tuần tự.
Có phải mọi dãy số thực có giới hạn đều hội tụ không?
Trả lời và Giải thích: (a) Mọi dãy bị giới hạn có hội tụ không?Không.
Có phải mọi dãy đơn điệu có giới hạn đều hội tụ không?
Không phải tất cả các dãy bị ràng buộc, như (−1) n,đều hội tụ, nhưng nếu chúng ta biết dãy bị giới hạn là đơn điệu, thì điều này sẽ thay đổi. nếu an ≥ an + 1 với mọi n ∈ N. Một dãy là đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm. và bị ràng buộc, sau đó nó hội tụ.
Có phải tất cả các dãy bị ràng buộc đều có dãy con hội tụ không?
Định lý Bolzano-Weierstrass:Mọi dãy bị giới hạn trong Rn đều có dãy con hội tụ. của {xmk} là một dãy số thực có giới hạn, vì vậy nó cũng có một dãy con hội tụ,… Ngược lại, mọi dãy bị giới hạn đều nằm trong mộttập hợp đóng và có giới hạn, vì vậy nó có một dãy con hội tụ.
