Định lý đầu tiên mà Pugh chứng minh khi ông định nghĩa Tích phân Riemann là tính tích phânngụ ý giới hạn. Đây là Định lý 15 ở trang 155 trong ấn bản của tôi. Điều này chứng tỏ rằng trước tiên người ta phải đồng ý về các định nghĩa.
Tích hợp Riemann có ngụ ý có giới hạn không?
Định lý 4. Mọi hàm tích phân Riemann đều có giới hạn.
Các hàm không bị giới hạn có thể tích hợp được không?
Một hàm không bị chặn không thể tích phânRiemann. Trong phần sau, “tích phân” sẽ có nghĩa là “tích phân Riemann, và“tích phân”sẽ có nghĩa là“tích phân Riemann”trừ khi được nêu rõ ràng theo cách khác. f (x)={1 / x nếu 0 < x ≤ 1, 0 nếu x=0. do đó các tổng Riemann trên của f không được xác định rõ.
Một hàm tích phân Lebesgue có bị giới hạn không?
Các hàm có thể đo được giới hạntương đương với các hàm có thể tích hợp Lebesgue. Nếu f là một hàm bị giới hạn xác định trên một tập E có thể đo được với độ đo hữu hạn. Khi đó f có thể đo được nếu và chỉ khi f là tích phân Lebesgue. … Mặt khác, các chức năng có thể đo lường được "gần như" liên tục.
Làm cách nào để biết một hàm có thể tích hợp Lebesgue không?
Nếu f, g là các hàm sao chof=ghầu như ở mọi nơi, thì f là tích phân Lebesgue nếu và chỉ khi g là tích phân Lebesgue, và tích phân của f và g là giống nhau nếu chúng tồn tại.
